Odpowiedzi do działu Nieskończoność
Zadanie 1
Dla dowolnego n istnieje skoczenie wiele par, w których większą liczba jest- takich par jest de facto po prostu n. Jest zatem dokładnie jedna para, w której większą liczba jest 1 to para (1,1). Są dwie możliwe pary, w której większa liczba jest 2- a mianowicie (1,2) i (2,2). Możemy je przeliczyć, ustawiając w ciąg (1,1),(1,2),(2,2), (1,3),(2,3),(3,3)…
Zadanie 2
Proponujemy porządek (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(1,4)…
Zadanie 3
Problem ten jest tym samym problemem co ostatni, z tą jedynie różnicą, że inaczej zapisujemy:1/1,1/2,2/2,1/3… Oczywiście można opuścić powtarzające się ułamki.
Zadanie 4
Zbiór, którego elementami są a1,...an, zapisujemy jako {a1,a2,...,an}. Jedynym zbiorem, w którym największą liczba jest 1, jest zbiór {1}. Są dwa zbiory, w których największa liczbą jest 2: {1,2} i {2}. Są cztery zbiory, w których największą liczba jest 3: {3}, {1,3} {2,3}, {1,2,3}. Ogólnie, dla dowolnego n istnieje 2 [do potęgi (n-1)], w których n jest największą liczbą. Wynika to stąd, że dla dowolnego n istnieje 2 [do potęgi n] podzbiorów zbioru liczb naturalnych od 1 do n (w tym zbiór pusty). Jednak zbiór, w którym największą liczbą jest n, składa się z liczby n wraz z pewnym podzbiorem liczb od 1 do n-1; zbiorów takich jest zatem 2 [do potęgi (n-1)). Istotne w tym rozumowaniu jest, iż dla dowolnego n istnieje tylko skończenie wiele podzbiorów liczb naturalnych, w którym największą liczbą jest n.
Zadanie 5
Dla dowolnego n, albo n należy do zbioru, który jest opisany na stronie n, albo nie należy. Zdefiniujmy S jako zbiór tych liczb naturalnych n, które nie należą do zbioru opisanego na stronie n. Dla dowolnego n, niech Sn będzie zbiorem opisanym na stronie n. Z definicji zbioru S wynika, że dla dowolnego n, zbiór ten musi być różny od zbioru Sn, ponieważ n należy do S wtedy i tylko wtedy, gdy nie należy do Sn. Znaczy to jednak, że albo n należy do S i nie należy do Sn, albo n nie należy do S, za to należy do Sn.
Odpowiedzi powyższe pochodzą z książki „Szatan, Cantor i nieskończoność”
Zadanie 6
ad 1. Tak. Np. a1=100, r=-1
ad 2. Nie. Jeśli dowolne dwa wyrazy ciągu arytmetycznego są równe, to ciąg ten jest stały. Zatem w szczególności, gdy ma dwa wyrazy równe zero, to wszystkie jego wyrazy są zerami.
ad 3. Tak. Np. a1=-100, r=1
Zadanie 7
Łamana ma długość 8√2.
Odpowiedzi do działu Geometria
Zadanie 1
Niedźwiedź był białego koloru.
Zadanie 2
ad 1. Nie
ad 2. Nie
ad 3. Tak. Rozpatrz sytuację, gdy proste przecinają się.
Odpowiedzi do działu Kryptografia
Zadanie 1
ad 1. Nie
ad 2. Tak
ad 3. Tak
Zadanie 2
PODSTAWY KRYPTOGRAFII
