Przejdź do treści

Odcinek 4.

Przykładem dyskretyzacji problemu nie jest:
Nagrywanie utworu muzycznego na płytę CD.
Wykonywanie kontrolnych odwiertów w nawierzchni budowanej drogi.
Oglądanie odległych gwiazd przez teleskop.
Czy samolot odrzutowy może się poruszać w próżni? A samolot śmigłowy?
Samolot odrzutowy może się poruszać w próżni, ale samolot śmigłowy nie może.
Samolot śmigłowy może się poruszać w próżni, ale samolot odrzutowy nie może.
Ani samolot odrzutowy, ani śmigłowy nie mogą się poruszać w próżni.
Pewien gatunek bakterii rozmnaża się w taki sposób, że w ciągu każdej minuty każda bakteria dzieli się na dwie takie same. W ramach eksperymentu w naczyniu umieszczono pewną liczbę bakterii tego gatunku. Dokładnie po godzinie od rozpoczęcia eksperymentu całe naczynie zostało wypełnione bakteriami. Po ilu minutach od początku eksperymentu naczynie było wypełnione bakteriami w 1/4?
15
58
Nie da się tego określić, ponieważ nie wiemy, ile bakterii było w naczyniu na początku eksperymentu.

Model drapieżnik-ofiara opisuje układ dynamiczny, w którym na jednym terenie żyje populacja drapieżników (np. lisów) i ofiar (np. zajęcy). W każdym kroku symulacji:

  • każdy zając porusza się w losowym kierunku i z pewnym prawdopodobieństwem się rozmnaża,
  • każdy lis porusza się w losowym kierunku i jeśli natrafia na zająca, to go zjada i się rozmnaża,
  • jeśli lis nie natrafi na zająca to z pewnym prawdopodobieństwem ginie (z głodu).

Poniższa symulacja przedstawia zachowanie populacji zajęcy (białe punkty) i lisów (czerwone punkty) w czasie. Możesz wybrać jeden z trzech zestawów danych początkowych lub ręcznie wpisać odpowiednie parametry. 

Równowaga: Zwróć uwagę, że populacja zarówno jednego, jak i drugiego gatunku zmienia się cyklicznie: raz rośnie, a raz maleje. Ponadto, krzywa dla lisów ma kształt podobny do kształtu krzywej dla zajęcy, ale jest trochę opóźniona względem niej w czasie. Bierze się to stąd, że gdy populacja zajęcy rośnie, to wkrótce potem lisy będą miały pod dostatkiem pożywienia i dzięki temu również będą się rozmnażać. Tym samym zapowiada to spadek populacji zajęcy w kolejnej fazie. Tymczasem, gdy populacja zajęcy maleje, zmniejsza się ilość pożywienia dla lisów, w wyniku czego później następuje spadek również ich populacji.

Więcej zajęcy: Gdy różnica w populacjach będzie wystarczająco duża jeden gatunek będzie mógł całkowicie wyeliminować drugi. Co ciekawe, gdy np. zajęcy będzie 50 razy więcej niż lisów, wcale nie jest oczywiste, który gatunek wyeliminuje przeciwnika. Uruchamiając symulację kilka razy dla tych danych, możesz się przekonać, że możliwe są oba scenariusze. Możliwe jest również osiągnięcie stanu równowagi, tj. współistnienia obu populacji.

Dużo urodzin zajęcy: Paradoksalnie, zwiększając współczynnik szansy na urodzenie zająca, w wielu przypadkach pomagamy populacji lisów, czego efektem jest zjedzenie przez nich wszystkich zajęcy.

Równania Lotki-Volterry

Zachowanie obu populacji w stanie równowagi (podobnych populacji początkowych oraz podobnych prawdopodobieństw samoistnego rozmnożenia się zajęcy i śmierci nienajedzonych lisów) opisują różniczkowe równania Lotki-Volterry:

dx/dt = (a - by)x

dy/dt = (cx - d)y

W równaniach tych x oznacza liczbę ofiar, y liczbę drapieżników, natomiast pozostałe współczynniki pełnią następujące funkcje:

a - częstość narodzin ofiar
b - częstość umierania ofiar na skutek drapieżnictwa,
c - współczynnik przyrostu drapieżników,
d - częstość umierania drapieżników

Rozwiązaniem tych równań jest zależność populacji ofiar i drapieżników od czasu przedstawiona na poniższym wykresie. Zwróć uwagę, że podobnie jak w poprzedniej symulacji, wykres populacji lisów jest opóźnionym w czasie wykresem populacji zajęcy.

Jednak w przypadku zwiększonego prawdopodobieństwa rozmnożenia zająca wykres wciąż będzie zachowywał okresowy charakter. Tymczasem w przeprowadzonej wcześniej symulacji, dla podobnych danych przeważnie następowało całkowite zdominowanie jednej populacji przez drugą. Widzimy, że w tym przypadku oba modele dają różne wyniki.

Autorzy zadań i symulacji:

Paweł Magryta, Łukasz Mazurek i Krzysztof Więckowski

 

 

Projekt realizowany jest w partnerstwie z Urzędem Miasta Stołecznego Warszawa
 
kapitał ludzki

    UE   

ICM 
  Projekt dofinansowała Fundacja mBanku